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21.2.1 第1课时 直接开平方法

21.2.1  第1课时 直接开平方法 第1张

 

21.2.1 配方法

第1课时 直接开平方法



    教学内容


    运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.


    教学目标


    理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.


    提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.


    重难点关键


    1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.


    2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.


    教学过程


    一、复习引入


    学生活动:请同学们完成下列各题


    问题1.填空


    (1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.


问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?


    老师点评:


    问题1:根据完全平方公式可得:(1)16  4;(2)4  2;(3)()2  .


    问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2


    则PB=x,BQ=2x


    依题意,得:x·2x=8


    x2=8


    根据平方根的意义,得x=±2


    即x1=2,x2=-2


    可以验证,2和-2都是方程x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.


    所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2.


    二、探索新知


    上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?


    (学生分组讨论)


    老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2


    即2t+1=2,2t+1=-2


    方程的两根为t1=-,t2=--


    例1:解方程:x2+4x+4=1


    分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.


    解:由已知,得:(x+2)2=1


    直接开平方,得:x+2=±1


    即x+2=1,x+2=-1


    所以,方程的两根x1=-1,x2=-3


    例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.


    分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2


    解:设每年人均住房面积增长率为x,


    则:10(1+x)2=14.4


    (1+x)2=1.44


    直接开平方,得1+x=±1.2


    即1+x=1.2,1+x=-1.2


    所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2


    因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.


    所以,每年人均住房面积增长率应为20%.


    (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?


    共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.


    三、巩固练习


    教材P36  练习.


    四、应用拓展


    例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?


    分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.


    解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.


    那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31


    把(1+x)当成一个数,配方得:


    (1+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56


    x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6


    方程的根为x1=10%,x2=-3.1


    因为增长率为正数,


    所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.


    五、归纳小结


    本节课应掌握:


    由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.


    六、布置作业


    1.教材P45  复习巩固1、2.


    2.选用作业设计:


 


一、选择题


    1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是(  ).


      A.p=4,q=2     B.p=4,q=-2     C.p=-4,q=2    D.p=-4,q=-2


    2.方程3x2+9=0的根为(  ).


      A.3      B.-3      C.±3     D.无实数根


    3.用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是(  ).


      A.(x-)2=,x=±


      B.(x-)2=-,原方程无解


      C.(x-)2=,x1=+,x2=


      D.(x-)2=1,x1=,x2=-


    二、填空题


    1.若8x2-16=0,则x的值是_________.


    2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.


    3.如果a、b为实数,满足+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.


    三、综合提高题


    1.解关于x的方程(x+m)2=n.



 


    2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.


    (1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?


    (2)鸡场的面积能达到210m2吗?



 


    3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?




答案:


一、1.B  2.D  3.B


二、1.±  2.9或-3  3.-8


三、1.当n≥0时,x+m=±,x1=-m,x2=--m.当n<0时,无解


2.(1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,


依题意,得:x(40-2x)=180


整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+,x2=10-;


同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.


    (2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,


b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到.


3.因要制矩形方框,面积尽可能大,


所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.

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