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21.2.2 公式法

21.2.2  公式法 第1张

21.2.2 公式法


    教学内容

    1.一元二次方程求根公式的推导过程;

    2.公式法的概念;

    3.利用公式法解一元二次方程.

    教学目标

    理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.

    复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.

    重难点关键

    1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.

    2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.

    教学过程

    一、复习引入

    (学生活动)用配方法解下列方程

    (1)6x2-7x+1=0   (2)4x2-3x=52

    (老师点评)  (1)移项,得:6x2-7x=-1

    二次项系数化为1,得:x2- x=- 

    配方,得:x2- x+( )2=- +( )2

              (x- )2= 

x- =±   x1= + = =1  

x2=- + = = 

    (2)略

    总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).

    (1)移项;

    (2)化二次项系数为1;

    (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;

    (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;

    (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.

    二、探索新知

    如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.

    问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1= ,x2= 

    分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

    解:移项,得:ax2+bx=-c

    二次项系数化为1,得x2+ x=- 

    配方,得:x2+ x+( )2=- +( )2

    即(x+ )2= 

    ∵b2-4ac≥0且4a2>0

    ∴ ≥0

    直接开平方,得:x+ =± 

    即x= 

    ∴x1= ,x2= 

    由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:

    (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.

    (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

    (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

    (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.

    例1.用公式法解下列方程.

    (1)2x2-4x-1=0        (2)5x+2=3x2

    (3)(x-2)(3x-5)=0   (4)4x2-3x+1=0

    分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.

    解:(1)a=2,b=-4,c=-1

    b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0

    x= 

    ∴x1= ,x2= 

    (2)将方程化为一般形式

     3x2-5x-2=0

     a=3,b=-5,c=-2

     b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0

    x= 

    x1=2,x2=- 

    (3)将方程化为一般形式

    3x2-11x+9=0

    a=3,b=-11,c=9

    b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0

    ∴x= 

    ∴x1= ,x2= 

    (3)a=4,b=-3,c=1

    b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0

    因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根.

    三、巩固练习

    教材P42  练习1.(1)、(3)、(5)

    四、应用拓展

    例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列问题.

    (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.

    (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.

    你能解决这个问题吗?

    分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.

    (2)要使它为一元一次方程,必须满足:

① 或② 或③ 

    解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2

                               m2=1  m=±1

      当m=1时,m+1=1+1=2≠0

      当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)

      ∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0

      a=2,b=-1,c=-1

      b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9

      x= 

      x1=,x2=- 

      因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- .

    (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0

    因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0

    所以m=0满足题意.

    ②当m2+1=0,m不存在.

    ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0

    所以m=-1也满足题意.

    当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,

    解得:x=-1

    当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0

    解得x=- 

    因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- .

    五、归纳小结

    本节课应掌握:

    (1)求根公式的概念及其推导过程;

    (2)公式法的概念;

    (3)应用公式法解一元二次方程;

    (4)初步了解一元二次方程根的情况.

    六、布置作业

    1.教材P45  复习巩固4.

    2.选用作业设计:

     

    一、选择题

    1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到(  ).

A.x=      B.x=     

C.x=      D.x= 

    2.方程 x2+4 x+6 =0的根是(  ).

A.x1= ,x2=      B.x1=6,x2= 

C.x1=2 ,x2=      D.x1=x2=- 

    3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是(  ).

      A.4     B.-2     C.4或-2     D.-4或2

    二、填空题

    1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.

    2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.

    3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.

    三、综合提高题

    1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.

    2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=- ,x1•x2= ;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.

    3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费.

    (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)

(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元)

 3        80        25

 4        45        10

    根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?


答案:

一、1.D  2.D  3.C

二、1.x= ,b2-4ac≥0   2.4  3.-3

三、1.x= =a±│b│

2.(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,

    ∴x1= ,x2= 

    ∴x1+x2= =- ,

    x1•x2= • = 

    (2)∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0

    原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

        =x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)

        =0

3.(1)超过部分电费=(90-A)• =- A2+ A

 (2)依题意,得:(80-A)• =15,A1=30(舍去),A2=50



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