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27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似

27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似 第1张

27.2.1  相似三角形的判定 

第2课时  三边成比例的两个三角形相似

                   

教学目标:

1.理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法;(重点)

2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.

 教学过程:

一、情境导入

我们现在判定两个三角形是否相似,必须要知道它们的对应角是否相等,对应边是否成比例.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢?

 

在如图所示的方格上任画一个三角形,再画第二个三角形,使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角,你发现了什么结论?大家的结论都一样吗?

二、合作探究

探究点:三边对应成比例的两个三角形相似

【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似

  在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?

解析:已知△ABC和△EDF都是直角三角形,且已知两条边长,所以可利用勾股定理分别求出第三边的长,看对应边是否对应成比例.

解:△ABC∽△EDF.在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°,由勾股定理得AC=AB2-BC2=102-62=8.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°,由勾股定理得ED=DF2+EF2=32+42=5.在△ABC和△EDF中,BCDF=63=2,ACEF=84=2,ABED=105=2,所以BCDF=ACEF=ABED,所以△ABC∽△EDF.

方法总结:利用三边对应成比例判定两个三角形相似时,应说明三角形的三边对应成比例,而不是两边对应成比例.  变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题

【类型二】 网格中的相似三角形

  如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.

 

解析:首先由勾股定理,求得△ABC和△DEF的各边的长,即可得ABDE=ACDF=BCEF,然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似,即可判定△ABC和△DEF相似.

解:△ABC和△DEF相似.由勾股定理,得AB=25,AC=5,BC=5,DE=4,DF=2,EF=25,∵ABDE=ACDF=BCEF=254=52,∴△ABC∽△DEF.

方法总结:在网格中计算线段的长,运用勾股定理是常用的方法.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题

【类型三】 利用相似三角形证明角相等

  如图,已知ABAD=BCDE=ACAE,找出图中相等的角,并说明你的理由.

 

解析:由ABAD=BCDE=ACAE,证明△ABC∽△ADE,再利用相似三角形对应角相等求解.

解:在△ABC和△ADE中,∵ABAD=BCDE=ACAE,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC =∠DAE,∠B=∠D,∠C=∠E.

方法总结:在证明角相等时,可通过证明三角形相似得到.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系

  如图,某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路,已知AB=14千米,AD=28千米,BD=21千米,BC=42千米,DC=31.5千米,公路AB与CD平行吗?说出你的理由.

 

解析:由图中已知线段的长度,可求两个三角形的对应线段的比,证明三角形相似,得出角相等,通过角相等证明线段的平行关系.

解:公路AB与CD平行.∵ABBD=1421=23,ADBC=2842=23,BDDC=2131.5=23,∴△ABD∽△BDC,∴∠ABD=∠BDC,∴AB∥DC.

方法总结:如果在已知条件中边的数量关系较多时,可考虑使用“三边对应成比例,两三角形相似”的判定方法.

【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题

  要制作两个形状相同的三角形教具,其中一个三角形教具的三边长分别为50cm,60cm,80cm,另一个三角形教具的一边长为20cm,请问怎样选料可使这两个三角形教具相似?想想看,有几种解决方案.

解析:要使两个三角形相似,已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边,则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定.

解:①当长为20cm的边长的对应边为50cm时,∵50∶20=5∶2,且第一个三角形教具的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为:20cm,24cm,32cm;②当长为20cm的边长的对应边为60cm时,∵60∶20=3∶1,且第一个三角形教具的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为:503cm,20cm,803cm;③当长为20cm的边长的对应边为80cm时,∵80∶20=4∶1,且第一个三角形教具的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为:12.5cm,15cm,20cm.∴有三种解决方案.

方法总结:解答此题的关键在于分类讨论,当对应比不确定时,采用分类讨论的方法可避免漏解.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1.三角形相似的判定定理:

三边对应成比例的两个三角形相似;

2.利用相似三角形的判定解决问题.

教学反思:

    因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题,然后证明猜想的命题是否正确.课堂上教师主要还是以提问的形式,逐步引导学生去证明命题.从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.


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