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21.2.1 第1课时 直接开平方法(课件ppt)

21.2.1  第1课时 直接开平方法(课件ppt) 直接开平方法ppt 第1张

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22.2.1 配方法

第1课时  直接开平方法


    教学内容

    运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.

    教学目标

    理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.

    提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

    重难点关键

    1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.

    2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

    教学过程

    一、复习引入

    学生活动:请同学们完成下列各题

    问题1.填空

(1)x2-8x+____=(x-___)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+___)2;

(3)x2+px+_____=(x+______)2.

问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

    老师点评:

    问题1:根据完全平方公式可得:(1)16  4;(2)4  2;(3)( )2   .

    问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2

    则PB=x,BQ=2x

    依题意,得: x•2x=8    x2=8

    根据平方根的意义,得x=±2     即x1=2 ,x2=-2 

    可以验证,2 和-2 都是方程 x•2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.

    所以2 秒后△PBQ的面积等于8cm2.

    二、探索新知

    上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2 ,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?

    (学生分组讨论)

    老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2 

    即2t+1=2 ,2t+1=-2 

    方程的两根为t1= - ,t2=- - 

    例1:解方程:x2+4x+4=1

    分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.

    解:由已知,得:(x+2)2=1

    直接开平方,得:x+2=±1

    即x+2=1,x+2=-1

    所以,方程的两根x1=-1,x2=-3

    例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.

    分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

    解:设每年人均住房面积增长率为x,

    则:10(1+x)2=14.4

    (1+x)2=1.44

    直接开平方,得1+x=±1.2

    即1+x=1.2,1+x=-1.2

    所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

    因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.

    所以,每年人均住房面积增长率应为20%.

    (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?

    共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

    三、巩固练习

    教材P36  练习.

    四、应用拓展

    例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?

    分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.

    解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.

    那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

    把(1+x)当成一个数,配方得:

    (1+x+ )2=2.56,即(x+ )2=2.56

    x+ =±1.6,即x+ =1.6,x+ =-1.6

    方程的根为x1=10%,x2=-3.1

    因为增长率为正数,

    所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.

    五、归纳小结

    本节课应掌握:

    由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=± ,达到降次转化之目的.

    六、布置作业

    1.教材P45  复习巩固1、2.

    2.选用作业设计:

一、选择题

    1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是(  ).

      A.p=4,q=2     B.p=4,q=-2     C.p=-4,q=2    D.p=-4,q=-2

    2.方程3x2+9=0的根为(  ).

      A.3      B.-3      C.±3     D.无实数根

    3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是(  ).

      A.(x- )2= ,x= ± 

      B.(x- )2=- ,原方程无解

      C.(x- )2= ,x1= + ,x2= 

      D.(x- )2=1,x1= ,x2=- 

    二、填空题

    1.若8x2-16=0,则x的值是_________.

    2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.

    3.如果a、b为实数,满足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.

    三、综合提高题

    1.解关于x的方程(x+m)2=n.

    2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.

    (1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?

    (2)鸡场的面积能达到210m2吗?

    3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?


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