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17.2 第1课时 勾股定理的逆定理(教案)

八年级下册数学教案吾爱数学2019-11-23 14:42:182010下楼看看A+A-百度收录:百度已收录

17.2 第1课时 勾股定理的逆定理(教案) 勾股定理的逆定理 第1张

17.2 勾股定理的逆定理

第1课时 勾股定理的逆定理

 

教学目标: 

1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;(重点)

2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题;(难点)

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.(重点)

教学过程:                   

一、情境导入

古埃及人曾经用下面的方法画直角:将一根长绳打上等距离的13个结,然后用桩钉成一个三角形(如图),他们认为其中一个角便是直角.

你知道这是什么道理吗?

二、合作探究

探究点一:勾股定理的逆定理

【类型一】 判断三角形的形状

  如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为(  )

A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.以上答案都不对

解析:∵正方形小方格边长为1,∴BC=52+52=52,AC=32+32=32,AB=22+82=68.在△ABC中,∵BC2+AC2=50+18=68,AB2=68,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.故选A.

方法总结:要判断一个角是不是直角,可构造出三角形,然后求出三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.

【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系

  如图,已知在正方形ABCD中,AE=EB,AF=14AD.求证:CE⊥EF.

 

解析:根据题设提供的信息,可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中,运用勾股定理的逆定理进行证明.

证明:连接CF.设正方形的边长为4,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=CD=DA=4.∵点E为AB中点,AF=14AD,∴AE=BE=2,AF=1,DF=3.由勾股定理得EF2=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=42+32=25.∵EF2+EC2=FC2,∴△CFE是直角三角形,且∠FEC=90°,即EF⊥CE.

方法总结:利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形,所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法.

【类型三】 勾股数

  判断下列几组数中,一定是勾股数的是(  )

A.1,2,3    B.8,15,17

C.7,14,15  D.35,45,1

解析:选项A不是,因为2和3不是正整数;选项B是,因为82+152=172,且8、15、17是正整数;选项C不是,因为72+142≠152;选项D不是,因为35与45不是正整数.故选B.

方法总结:勾股数必须满足:①三个数必须是正整数,例如:2.5、6、6.5满足a2+b2=c2,但是它们不是正整数,所以它们不是勾股数;②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题

  如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=8,BC=6,CD=24,AD=26,求四边形ABCD的面积.

 

解析:连接AC,根据已知条件可求出AC,再运用勾股定理可证△ACD为直角三角形,然后可分别求出两个直角三角形的面积,两者面积相加即为四边形ABCD的面积.

解:连接AC.∵∠B=90°,∴△ABC为直角三角形,∴AC2=AB2+BC2=82+62=102,∴AC=10.在△ACD中,∵AC2+CD2=100+576=676,AD2=262=676,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×6×8+12×10×24=144.

方法总结:将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题,解题时要利用题目信息构造出直角三角形,如角度,三边长度等.

探究点二:互逆命题与互逆定理

  写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题.

(1)两直线平行,同旁内角互补;


(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行;

(3)相等的角是内错角;

(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.

解析:求一个命题的逆命题时,分别找出各命题的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题.

解:(1)同旁内角互补,两直线平行,真命题;

(2)如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内),真命题;

(3)内错角相等,假命题;

(4)等边三角形有一个角是60°,真命题.

方法总结:判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理,判断一个命题是假命题只需要举出反例即可.

三、板书设计

1.勾股定理的逆定理及勾股数

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

2.互逆命题与互逆定理

 

在本课时教学过程中,应以师生共同探讨为主.激励学生回答问题,激发学生的求知欲.课堂上师生互动频繁,既保证课堂教学进度,又提高课堂学习效率.学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆.


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