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全国版《火线100天》专题复习(七)函数与几何综合探究题

全国版《火线100天》专题复习(七)函数与几何综合探究题 第1张专题复习(七) 函数与几何综合探究题

方法指导二次函数的解析式的确定:

1.确定二次函数的解析式一般用待定系数法,由于二次函数解析式有三个待定系数a,b,c(a,h,k或a,x1,x2),因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件:

(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时,选用一般式,即y=ax2+bx+c(a≠0);

(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时,选用顶点式,即y=a(x-h)2+k(a≠0);

(3)已知抛物线与x轴的两个交点(或横坐标x1,x2)时,选用交点式,即y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

2.用待定系数法求二次函数解析式的步骤:

(1)设二次函数的解析式;

(2)根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);

(3)解方程(组),求出待定系数的值,从而写出函数的解析式.K,  (2)若点P为第一象限内抛物线上一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;

方法指导

1.探究面积最值的存在性:

第(2)问是与抛物线有关的三角形或四边形,抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上,同样,抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上,要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值.K

解决这类问题的基本步骤:

(1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值,可设动点运动的时间t或动点的坐标(t,at2+bt+c);

(2)①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高,此时就应先证明涉及底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似,从而求得用含t的代数式表示的底和高;

②求四边形的面积最值时,常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形,从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段;

(3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积;

(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值.(如P149T5(2))

2.探究面积等量关系的存在性问题:

对于图形的运动产生的相等关系问题,

解答时应认真审题,仔细研究图形,分析动点的运动状态及运动过程,解题过程的一般步骤:

(1)弄清其取值范围,画出符合条件的图形;

(2)确定其存在的情况有几种,然后分别求解,在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合作辅助线,画出所求面积为定值的三角形;

(3)过动点作有关三角形的高或平行于x轴、y轴的辅助线,利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式,列方程求解,再根据实际问题确定方程的解是否符合题意,从而证得面积等量关系的存在性.(如P149T6(2))

3.探究线段最值问题:

无论是线段和的最小值或是周长的最小值,还有两条线段差的最大值等,解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,最常见的基本图形就是“将军饮马问题”,即已知一条直线和直线同旁的两个点,要在直线上找一点,使得这两个点与这点连接的线段之和最小,解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决.

方法指导

1.在解答直角三角形的存在性问题时,具体方法如下:

(1)先假设结论成立,根据直角顶点的不确定性,分情况讨论;

(2)找点:当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时,需分情况讨论,具体方法如下:

①当定长为直角三角形的直角边时,分别以定长的某一端点作定长的垂线,与坐标轴或抛物线有交点时,此交点即为符合条件的点;

②当定长为直角三角形的斜边时,以此定长为直径作圆,圆弧与满足条件的坐标轴或抛物线有交点时,此交点即为符合条件的点;

(3)计算:把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来,从而表示出三

角形的各边(表示线段时,还要注意代数式的符号),再利用相似三角形的性质得出比例式,或者利用勾股定理进行计算,或者利用三角函数建立方程求点的坐标.(如P151T9(2))

2.除了探究直角三角形外,还常常探究等腰三角形的存在性,这个和直角三角形的方法类似:

(1)假设结论成立;

(2)找点:当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时,需分情况讨论,具体方法如下:

①当定长为腰时,找已知直线或抛物线上满足条件的点时,以定长的某一端点为圆心,以定长为半径画弧,若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时,交点即为符合条件的点;

②当定长为底边时,根据尺规作图作出定长的垂直平分线,若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点,则交点即为所求的点,若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点,则满足条件的点不存在.

以上方法即可找出所有符合条件的点;

(3)计算:在求点的坐标时,大多时候利用相似三角形求解,如果图形中没有相似三角形,可以通过添加辅助线构造直角三角形,有时也可利用直角三角形的性质进行求解.

方法指导

探究三角形相似的存在性问题的一般思路:

解答三角形相似的存在性问题时,要具备分类讨论的思想以及数形结合思想,要先找出三角形相似的分类标准,一般涉及动态问题要以静制动,动中求静,具体如下:

(1)假设结论成立,分情况讨论.探究三角形相似时,往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目),或者涉及动点问题,因动点问题中点的位置不确定,此时应考虑不同的对应关系,分情况讨论;

(2)确定分类标准:在分类时,先要找出分类的标准,看两个相似三角形是否有对应相等的角,若有,找出对应相等的角后,再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件;若没有,则分别按三种角对应来分类讨论;

(3)建立关系式,并计算.由相似三角形列出相应的比例式,将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算),整理可得一元一次方程或者一元二次方程,解方程可得字母的值,再通过计算得出相应的点的坐标.(如P153T12(2)②)K

方法指导

在解答平行四边形的存在性问题时,具体方法如下:

(1)假设结论成立;

(2)探究平行四边形通常有两类,一类是已知两定点去求未知点的坐标,一类是已知给定的三点去求未知点的坐标.第一类,以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线,画出符合题意的平行四边形;第二类,分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线,画出符合题意的平行四边形;

(3)建立关系式,并计算.根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后,可以利用平行四边形的性质进行计算,也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算,要具体情况具体分析,有时也可以利用直线的解析式联立方程组,由方程组的解为交点坐标求解.

类型1 探究线段最值问题

类型2 探究角度问题

类型3 探究面积问题

类型4 探究特殊三角形存在性问题

类型5 探究特殊四边形存在性问题

类型6 探究全等、相似三角形的存在性问题

类型7 反比例函数与几何图形的综合

类型8 其他问题

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