如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,AB与CD交于点O,求证:AB⊥CD。

如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,AB与CD交于点O,求证:AB⊥CD。

如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,AB与CD交于点O,求证:AB⊥CD。 证明两直线垂直 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 第1张

分析:由题干中的∠1=∠2,∠3=∠4,再加上公共边CD,就能够利用”角边角“证明△ACD≌△BCD,根据“全等三角形对应边相等”的性质可得到结论AC=BC。由条件∠1=∠2,OC是公共边可以利用“边角边”证明△ACO≌△BCO。根据“全等三角形对应角相等”的性质可得到结论∠AOC=∠BOC。这两个角恰好构成平角,∠AOC+∠BOC=180°,所以这两个角都等于90°,那么AB和CD互相垂直。

如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,AB与CD交于点O,求证:AB⊥CD。 证明两直线垂直 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 第2张

证明AC=BC后,可知三角形ACB是等腰三角形。由于∠1=∠2,可知OC是等腰三角形ACB的顶角平分线,根据“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”三线合一的性质可得结论OC是AB边上的高,即CD和AB垂直。

证明两直线互相垂直的第一思路就是证明这两条线段相交所构成的角等于90°。


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