【人教版】22版数学《金榜学案》九上（教案）

第二十一章　一元二次方程

21.1　一元二次方程

【教学目标】

　　知识与技能

　　探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数;能够从实际问题中抽象出方程知识.

　　过程与方法

　　在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系.

　　情感态度与价值观

　　通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

【重点难点】

重点:一元二次方程的定义、各项系数的辨别,根的作用.

难点:根的作用的理解.

【教学过程】

一、创设情境

问题1　

如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm.在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm²,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

学生通过分析设出合适的未知数,列出方程.

问题1考虑从不同角度列方程,

角度一:等量关系是底面的长×宽等于底面积,设切去的正方形的边长是x cm,则有方程

(100-2x)(50-2x)=3 600;

角度二:等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积,再减去四个长方形的面积,同样设正方形的长是x cm,则有方程

100×50-4x²-2x(50-2x)-2x(100-2x)=3 600,

通过整理得到方程:x²-75x+350=0.

问题2　要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应该邀请多少个队参赛?

分析:全部比赛共28场,若设邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共x(x-1)场,于是得到方程x(x-1)=28,经过整理得到方程x²-x-56=0.

教师应注意:

(1)学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚;

(2)学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题.

说明:由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,让学生初步感受一元二次方程,同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型.

二、探索归纳

　观察下列得到的方程:

(1)x²-75x+350=0.

(2)x²-x-56=0.

(3)x(x-1)=28.

学生活动:请口答下面问题.

(1)上面几个方程整理后含有几个未知数?

(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?

(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?

结论:

(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都有等号,是方程.

归纳定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0).

其中ax²是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.

思考:为什么规定a≠0?

强调:一元二次方程定义中的三个条件:

(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2,三个条件缺一不可.

三、新知应用

例1:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数.

解:去括号得3x²-3x=5x+10,

移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x²-8x-10=0.

其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.

学生活动:学生自主解决问题,通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式,然后指出各项系数.

教师活动:在学生指出各项系数的环节中,分析可能出现的问题(比如系数的符号问题).

说明:进一步巩固一元二次方程的基本概念.

例2:猜测方程x²-x-56=0的解是什么?

学生活动:学生可以采取多种方法得到方程的解,比如可以用尝试的方法取x=1、2、3、4、5等,发现x=8时等号成立,于是x=8是方程的一个解,如此等等.

教师活动:教师引导学生自主探索,多种途径寻找方程的解,在此基础上让学生进行总结:

使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫作一元二次方程的根).

四、检测反馈

课本P4练习1,2

补充习题:将方程(x+1)²+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.

五、课堂小结

1.一元二次方程的概念.

一元二次方程的定义要求的三个条件.要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.

2.一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念.

六、板书设计

　　21.1　一元二次方程

【教学反思】学生对项和系数的区分存在模糊认识.

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