如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC 求证:∠A+∠C=180°

如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC

求证:∠A+∠C=180°

如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC  求证:∠A+∠C=180° 初中数学 八年级数学 角平分线 利用角平分线的性质证明角的和差 第1张

1、本题看起来没有思路,但是“BD平分∠ABC”这个条件给了我们思路,可以过点D分别作DE⊥BA交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F。

2、此时,我们会发现图形上出现了两个直角三角形,分别是Rt△EAD和Rt△FCD。如果Rt△EAD≌Rt△FCD,∠A的补角就和∠C相等,那么∠A+∠C=180°。

3、利用“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”来证明Rt△EAD≌Rt△FCD的条件有斜边相等:AD=CD;用“角平分线的性质”可以轻易地证明一组直角边相等:DE=DF。

证明:过点D分别作DE⊥BA交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F

∵BD平分∠ABC,DE⊥BA交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F

∴DE=DF(角平分线的性质)

在Rt△EAD和Rt△FCD中

AD=CD(已知);DE=DF(已证)

∴Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)

∴∠EAD=∠C(全等三角形的对应角相等)

∵∠EAD+∠BAD=180°(观察图形可以发现)

∴∠C+∠BAD=180°(等量代换)

即∠A+∠C=180°

小结:解与角平分线的性质和判定方法有关的综合题时,应注重分析题目特点,通过适当添加辅助线,挖掘期中的隐含条件,从而获得问题的答案。


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