如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点P,PE⊥AB且交AB的延长线于点E,PF⊥AC且交AC的延长线于点F。

如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点P,PE⊥AB且交AB的延长线于点E,PF⊥AC且交AC的延长线于点F。求证:BC=BE+CF

如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点P,PE⊥AB且交AB的延长线于点E,PF⊥AC且交AC的延长线于点F。 初中数学 八年级数学 利用角平分线的性质巧证线段的和差 第1张

1、根据PB、PC是∠ABC、∠ACB的外角平分线可知,我们添加辅助线PD⊥BC交BC于点D。此时我们可以角平分线的性质证明:PD=PE=PF

2、第二步可以利用“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”来证明Rt△PFC和Rt△PDC,Rt△PEB和Rt△PDB。

3、利用“全等三角形的对应边相等”得到结论:CF=CD,BD=BE

4、观察图形可以发现BC=CD+BD=BE+CF

证明:作PD⊥BC交BC于点D

∵CP平分∠FCD,PF⊥AC且交AC的延长线于点F,PD⊥BC交BC于点D

∴PF=PD(角平分线的性质)

∵BP平分∠CBE,PE⊥AB且交AB的延长线于点E,PD⊥BC交BC于点D

∴PE=PD(角平分线的性质)

在Rt△PFC和Rt△PDC中

PC=PC(公共边)

PF=PD(已证)

∴Rt△PFC≌Rt△PDC

∴CF=CD(全等三角形的对应边相等)

在Rt△PDB和Rt△PEB中

PC=PC(公共边),PE=PD(已证)

∴Rt△PDB≌Rt△PEB

∴BD=BE(全等三角形的对应边相等)

观察图形可知BC=CD+BD=BE+CF

即BC=BE+CF


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