如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,且AE⊥BD并交BD的延长线于点E,又AE=1/2BD(1/2是二分之一的意思)。

如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,且AE⊥BD并交BD的延长线于点E,又AE=1/2BD(1/2是二分之一的意思)。

如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,且AE⊥BD并交BD的延长线于点E,又AE=1/2BD(1/2是二分之一的意思)。 初中数学解题网 角平分线的判定方法的应用 第1张

求证:BD是∠ABC的平分线

1、要证明“BD是∠ABC的平分线”,就是要证明∠1=∠2。怎么证明∠1=∠2?就需要我们添加辅助线构造全等三角形。

2、添加辅助线:延长AE、BC交于点F。此时观察图形可以发现△ABE≌△FBE、△AFC≌△BDC。

3、△ABE≌△FBE是为了证明∠1=∠2的,所以我们先要证明△AFC≌△BDC。这两个三角形相等的边有AC=BC。相等的角有∠ACF=∠BCD=90°,理由是∠ACB=90°。还缺少CF=CD或者∠2=∠FAC。

4、观察图形可以发现∠2和∠F互余,∠FAC和∠F也互余,那就可以证明∠2=∠FAC。此时△AFC≌△BDC。

5、到现在为止“AE=1/2BD”这个条件还没有用,它能不能帮助我们获得证明△ABE≌△FBE的条件呢?我们先看看证明△ABE≌△FBE的条件有什么,还缺少什么。△ABE≌△FBE的条件有∠AEB=∠FEB=90°(可以用AE⊥BD并交BD的延长线于点E证明),BE是△ABE和△FBE的公共边。还缺少AE=FE这个条件!能用“AE=1/2BD”这个条件证明出来吗?

6、△AFC≌△BDC可以得到结论AF=BD,因为AE=1/2BD,所以AE=1/2AF,那么AE=FE。

证明:延长AE、BC交于点F

∵AE⊥BD并交BD的延长线于点E,∠ACB=90°

∴∠2+∠F=90°,∠FAC+∠F=90°(直角三角形的两个锐角互余)

∴∠FAC=∠2(等量代换)

∵∠ACB=90°

∴∠ACF=∠BCD=90°(平角的定义)

在△AFC和△BDC中

∠FAC=∠2(已证),AC=BC(已知),∠ACF=∠BCD(已证)

∴△AFC≌△BDC(ASA)

∴AF=BD(全等三角形的对应边相等)

∵AE=1/2BD

∴AE=1/2AF

即AE=FE

∵AE⊥BD并交BD的延长线于点E

∴∠AEB =∠FEB=90°

在△ABE和△FBE中

AE=FE(已证),∠AEB =∠FEB(已证),EB=EB(公共边)

∴△ABE≌△FBE(SAS)

∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)

即BD是∠ABC的平分线


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