如图,已知在△ABC中,AB>AC,∠A=60°,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点I。 求证:ID=IE

如图,已知在△ABC中,AB>AC,∠A=60°,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点I。    

求证:ID=IE

如图,已知在△ABC中,AB>AC,∠A=60°,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点I。  求证:ID=IE 初中数学解题网 初中数学 八年级数学 证明两条线段相等的方法 第1张



1、由角平分线想到角平分线上的点到角的两边的距离相等,于是可以添加辅助线:分别过点I作IM⊥AB于点M,IN⊥AC于点N,IQ⊥BC于点Q。此时可以利用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”证明IM=IQ=IN。

2、观察图形我们可以发现,欲要证明ID=IE,就须先证明△IEM≌△IDN。而△IEM≌△IDN的条件有:∠EMI=∠DNI(可由添加的辅助线证明),IM=IN。如果选用“边角边”证明△IEM≌△IDN缺少条件ME=DN;如果选用“角边角”证明△IEM≌△IDN缺少条件∠EIM=∠DIN。

3、选用哪一个思路来证明△IEM≌△IDN呢?就需要最后一个已知条件∠A=60°。如果不看添加的辅助线,我们可以看到这个图形很熟悉,可以用“三角形的内角和等于180°”计算出∠BIC=180°-(∠ABC+∠ACB)/2=180°-(180°-∠A)/2=90°+∠A/2=120°。在四边形AMIN中,可以利用“四边形内角和等于360°”证明∠MIN=360°-60°-90°-90°=120°。最后再用∠EIM+∠MID=120°,∠DIN+∠MID=120°证明∠EIM=∠DIN。

证明:

分别过点I作IM⊥AB于点M,IN⊥AC于点N,IQ⊥BC于点Q

∴∠AMI=∠ANI=90°(垂直的定义)

∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线

∴IM=IQ=IN(角平分线上的点到角的两边的距离相等)

∵∠A=60°

∠AMI=∠ANI=90°

∴∠MIN=360°-∠A-∠AMI-∠ANI(在四边形AMIN中,四边形内角和等于360°)

=360°-60°-90°-90°

=120°

在△BIC中,∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB(三角形的内角和等于180°)

=180°-(∠ABC+∠ACB)/2

=180°-(180°-∠A)/2

=90°+∠A/2

=120°

∴∠MIN=∠BIC=∠EID

∵∠EIM+∠MID=∠EID=120°

∠DIN+∠MID=∠MIN=120°(等量代换)

∴∠EIM=∠DIN

∵∠AMI=∠ANI=90°

∴∠EMI=∠DNI=90°

在△IEM和△IDN中

∠EMI=∠DNI(已证)

IM=IN (已证)

∠EIM=∠DIN(已证)

∴△IEM≌△IDN(角边角)

∴ID=IE(全等三角形的对应边相等)

小结:利用角平分线的性质可以证明线段相等;通过三角形全等也可以证明线段相等。这是证明线段相等的常用方法。


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